Raul E. Lopez Briega

Matemáticas, análisis de datos y python

Fractales con Python

Fractales con Python

"El científico no estudia la naturaleza por la utilidad que le pueda reportar; la estudia por el gozo que le proporciona, y este gozo se debe a la belleza que hay en ella..."

Henri Poincaré

"Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un rayo viajan en línea recta..."

Benoît Mandelbrot

Introducción

Para muchas personas, la palabra Geometría evoca círculos, cuadrados, cubos y otros objetos regulares o lisos. En nuestra vida cotiana, vemos edificios, muebles o automóviles, que hacen un uso amplio de tales formas. Sin embargo, muchos fenómenos en la naturaleza y la ciencia son cualquier cosa menos regulares o suaves. Por ejemplo, un paisaje natural puede incluir arbustos, árboles, montañas y nubes, que son demasiado complejas para ser representadas por las formas geométricas clásicas.

Sorprendentemente, los objetos aparentemente complejos e irregulares a menudo se pueden describir en términos notablemente simples. La Geometría fractal proporciona un marco en el que un proceso simple, que implica una operación básica repetida muchas veces, puede dar lugar a un resultado altamente irregular. Las construcciones fractales pueden representar objetos naturales pero también dan lugar a una gran variedad de otras formas, que pueden ser de extraordinaria complejidad. A menudo se escucha la frase "la belleza de los fractales", una frase que refleja la complejidad interminable de los diseños fractales junto con la simplicidad que subyace en su forma siempre repetida.

El padre de los Fractales

Benoît Mandelbrot, un científico colorido y poco convencional, un matemático polaco nacionalizado francés y estadounidense; es generalmente referido como el "padre de los fractales" . En su libro de 1982 "La geometría fractal de la naturaleza", argumentó que los objetos muy irregulares deben considerarse como algo muy común, en lugar de excepcional; y además, muchos fenómenos de la Física, la Biología, las Finanzas y las Matemáticas tienen irregularidades de siguen un patrón similar. Mandelbrot introdujo la palabra fractal como una descripción general de una gran clase de objetos irregulares, y destacó la necesidad de desarrollar una matemática fractal, o en algunos casos recuperarla de documentos olvidados.

Desde la década de 1980, los fractales han atraído un interés generalizado. Prácticamente todas las áreas de la ciencia han sido examinadas desde un punto de vista fractal, con la Geometría fractal convirtiéndose en un área importante de las Matemáticas, tanto como un tema de interés por derecho propio y como una herramienta para una amplia gama de aplicaciones.

Construyendo Fractales - La curva de Koch

Para apreciar la belleza de los fractales comencemos construyendo uno de ellos. Imaginemos una línea recta y dividámosla en tres partes iguales; luego borramos la pieza del medio y la reemplazamos por otros dos lados de un triángulo equilátero (es decir, de lados iguales) en la misma base. Esto nos dará una cadena de cuatro segmentos más cortos, unidos y en línea recta como la siguiente figura:

Curva de Koch

Ahora hagamos exactamente lo mismo con cada una de estas cuatro piezas: quitamos los tercios medios y los reemplazamos por los otros dos lados de los triángulos equiláteros en la misma base, para obtener una nueva cadena de 16 piezas rectas. De esta forma, podemos continuar repitiendo este proceso una y otra vez.

Ayudémosnos de Python para ver como crece en complejidad y hermosura esta figura al repitir un proceso tan simple una y otra vez.

In [1]:
Ver Código
In [2]:
koch = Koch()
koch.plot()

Esta figura que acabamos de construir es conocida como Curva de Koch, y fue introducida y estudiada por el matemático sueco Helge von Koch.

Propiedades de los Fractales

Analizando esta construcción, podemos resumir las principales propiedades que exiben la mayoría de los fractales

  • Estructura fina: Al ampliar la curva, por mucho que la amplifiquemos, las irregularidades en su forma siempre son evidentes. Esta es una consecuencia directa de la construcción en la que los segmentos de línea muy pequeños se trataron de la misma manera que el original pero en una escala mucho menor.
  • Auto-similitud: La curva está compuesta de pequeñas copias de sí misma.
  • Los métodos clásicos de geometría y matemáticas no son aplicables: La figura es demasiado irregular para ser descrito en el lenguaje geométrico tradicional y, a diferencia de las formas clásicas, no puede expresarse mediante una fórmula "simple".
  • El "Tamaño" depende de la escala a la que se mide: A diferencia de figuras tradicionales como el círculo, dónde podemos tratar de medir la longitud tomando pequeños tramos y multiplicando por el número de pasos; tratar de medir la longitud de la curva de Koch dividiéndola en pasos cada vez más cortos solo proporciona estimaciones cada vez mayores para su longitud.
  • Una construcción recursiva simple: Si bien la curva parace un objeto complejo, en realidad se trata de una construcción recursiva que consiste en aplicar unos pasos simples una y otra vez.
  • Una apariencia natural: Con un poco de imaginación, la mayoría de los objetos fractales toman formas que recuerdan a la Naturaleza.

Otros Ejemplos de Fractales

Algunos otros ejemplos de fractales son:

La curva de Levy C

Esta curva lleva el nombre por el matemático francés Paul Pierre Lévy quien, en 1938, fue el primero en exhibir sus propiedades de autosimilaridad y proveer una construcción geométrica.

In [3]:
levy = Levy()
levy.plot()

La curva de Hilber

Este fractal, descripto por David Hilbert es una variante de las curvas de Peanno que recubren todo el plano.

In [4]:
hilbert = Hilbert()
hilbert.plot()

La curva del Dargon

Este fractal hizo su aparición por primera vez en la columna de juegos matematicos de Martín Gardner en Scientific American.

In [5]:
dragon = Dragon()
dragon.plot()